TEOREMA DE PICK (PARTE1)

A proposta deste artigo é, por meio de uma postura dialógica, estimulando a participação ativa do discente
utilizando a solução de exercícios como estratégia didática, voltada para o estudo de geometria, em particular área de polígonos simples, de um modo que é pouco trabalhado em sala de aula, sendo assim o presente artigo tem como finalidade apresentar o Teorema de Pick, com uma demonstração por meio de indução finita sobre o número de vértices do polígono, partindo do caso elementar triângulos com vértices de coordenadas inteiras no plano e indo para polígonos simples com mais vértices. A ideia do cálculo de área exato usando matemática discreta é certamente um atrativo para este, que além de mostrar outros teoremas relacionados, como Jordan e Euler. Espera-se que esta proposta se some a outras no sentido de contribuir para o ensino de matemática de forma qualitativa, podendo se utilizar de técnicas aqui abordadas ou ainda serem adaptadas as diversas realidades para o seu melhor aproveitamento. Serão trabalhados conceitos de: grafos, cisalhamento de pontos, divisão de coordenadas de um ponto por outro (conceito vetorial) usarei ainda um teorema interessante sobre a possibilidade de sempre ser possível traçar uma diagonal,interna ou externa, em um polígono simples com mais de três vértices com demonstração.
PROBLEMA INTRODUTÓRIO
Mostre que: se os vértices de um triângulo têm coordenadas inteiras então sua área é a metade de um número inteiro positivo, ou seja, um número racional.
Solução:
Uma maneira de se provar isso é com a utilização de vetores, como segue:
Sejam os vértices A (x1, y1) B (x2, y2) C (x3, y3), de coordenadas inteiras, então os vetores AB e AC também
tem coordenadas inteiras, pois AB= (x2 – x1, y2 – y1) e a diferença de inteiros é um inteiro, analogamente AC= (x3-x1, y3 – y1). AB= (a, b) e AC= (c, d), todas as coordenadas inteiras. E podemos entender a área do triângulo ABC, como sendo a metade da área do paralelogramo determinado
pelos vetores AB e AC, e este sabemos calcular como o módulo do produto vetorial. Portanto temos a metade de um número inteiro, que é um número racional.
Teorema: Todo polígono convexo de n vértices pode ser dividido em (n-2) triângulos justapostos.
Escolhido um vértice A qualquer e a partir deste traçarmos todas as suas diagonais (n – 3), pois o vértice em
questão não forma diagonal somente consigo e com os dois vértices adjacentes a ele, ou seja, do total de n vértices são descontados três, o próprio e seus dois adjacentes. E sabendo que um segmento qualquer que contém dois vértices, não adjacentes, de um polígono o divide em duas regiões, temos: ao traçarmos a primeira diagonal dividiremos o polígono em duas regiões, e assim ao traçarmos a segunda diagonal o dividiremos em três regiões, e
assim chegaremos a dividir em (n-2) regiões triangulares, quando traçarmos as (n-3) diagonais.

Próxima anterior
Bullying